Выполните умножение x 2 3 y

Умножение одночлена на многочлен

Эта тема — ключевой мостик от простых действий с числами и буквами к более сложной алгебре. Сегодня мы научимся правильно «распределять» умножение на каждую часть выражения в скобках. Это правило часто называют распределительным законом умножения или, по-научному, дистрибутивностью.

Простыми словами

Представь, что у тебя есть один пакет (это наш одночлен, например, 3y), а в нём лежат три разных подарка: конфета, яблоко и апельсин (это члены многочлена в скобках: x, 2 и 3y).

Тебе нужно сделать три одинаковых таких пакета для трёх друзей. Что ты сделаешь? Правильно, возьмёшь каждый подарок из списка и положишь в каждый новый пакет. То есть умножим содержимое нашего пакета (3y) на конфету (x), на яблоко (2) и на апельсин (3y) по отдельности, а потом сложим результаты. Так мы ничего не потеряем и каждому другу достанется полный набор.

Вот так и в математике: чтобы умножить одночлен на многочлен в скобках, нужно умножить этот одночлен на каждое слагаемое внутри скобок, а результаты сложить или вычесть, сохраняя знаки.

Алгоритм действий

Запиши выражение.
Определи одночлен перед скобкой (или после неё) и многочлен внутри скобок.
Умножь этот одночлен на первое слагаемое в скобках. Запиши результат.
Поставь знак, который стоит перед вторым слагаемым в скобках (плюс или минус).
Умножь одночлен на второе слагаемое. Запиши результат.
Повторяй шаги 4-5 для всех оставшихся слагаемых в скобках.
Если в полученном выражении есть подобные слагаемые (с одинаковой буквенной частью) — приведи их.

Шпаргалка

Правило (формула)	Как читать	Пример
a(b + c) = ab + ac	«А» умножить на сумму «b» и «c» равно «а» умножить на «b» плюс «а» умножить на «c».	5(x + 2) = 5x + 10
a(b — c) = ab — ac	«А» умножить на разность «b» и «c» равно «а» умножить на «b» минус «а» умножить на «c».	3y(y — 4) = 3y² — 12y
-x(a + b) = -ax — bx	Минус «х» умножить на сумму — умножаем «х» на каждое слагаемое, сохраняя знак минус.	-2(a + 3) = -2a — 6

Примеры с решением

Пример 1 (простой)

Задача: Выполните умножение: 7 ⋅ (a + 4)

Решение:

Умножаем 7 на первое слагаемое в скобках: 7 ⋅ a = 7a
Ставим знак «+».
Умножаем 7 на второе слагаемое: 7 ⋅ 4 = 28
Записываем ответ: 7a + 28

Пример 2 (средней сложности)

Задача: Выполните умножение: 3x ⋅ (x² — 5x + 2)

Решение:

Умножаем 3x на x²: 3x ⋅ x² = 3x³
Ставим знак «-» (как перед вторым слагаемым). Умножаем: 3x ⋅ 5x = 15x². Получаем: 3x³ — 15x²
Ставим знак «+». Умножаем: 3x ⋅ 2 = 6x.
Записываем ответ: 3x³ — 15x² + 6x

Подобных слагаемых здесь нет, значит, выражение упрощено полностью.

Пример 3 (со звёздочкой)

Задача: Упростите выражение: -2y(3y — x) + 4x(x — y)

Решение: Здесь нужно применить правило два раза, а потом привести подобные.

Первый шаг: -2y(3y — x) = (-2y ⋅ 3y) + (-2y ⋅ (-x)) = -6y² + 2xy. Обрати внимание: минус на минус дал плюс!
Второй шаг: 4x(x — y) = (4x ⋅ x) + (4x ⋅ (-y)) = 4x² — 4xy.
Третий шаг: Складываем полученные результаты: (-6y² + 2xy) + (4x² — 4xy) = 4x² — 6y² + 2xy — 4xy.
Четвёртый шаг: Приводим подобные слагаемые (2xy и -4xy): 4x² — 6y² — 2xy.
Ответ: 4x² — 6y² — 2xy

Родителям

Чтобы за 2 минуты проверить понимание, дайте ребёнку листок и задание: «Упрости выражение: 4 ⋅ (2a + 1) — a ⋅ (a — 3)». Попросите проговаривать шаги вслух. Ключевые моменты, на которые стоит обратить внимание:

Умножает ли он число 4 на оба слагаемых в первых скобках? (Должно получиться 8a + 4).
Помнит ли он, что перед вторыми скобками стоит знак «минус», и он относится ко всему произведению a(a-3)? Умножает ли он a на оба слагаемых? (Должно получиться a² — 3a).
Правильно ли вычитает второе выражение из первого, меняя знаки? (8a + 4 — a² + 3a).
Приводит ли подобные (8a и 3a)? Верный конечный ответ: -a² + 11a + 4.

Если эти шаги выполнены верно и уверенно — тема усвоена!

Частые ошибки

Потеря знака. Самая распространённая ошибка — забыть умножить одночлен на слагаемое, которое в скобках стоит со знаком «минус». Ребёнок умножает только на число, а минус теряется. Пример ошибки: 2x(x — 5) = 2x² — 5 (правильно: 2x² — 10x).
Умножение только на первое слагаемое. «Распределение» не доводится до конца. Пример ошибки: y(3 + y) = 3y (правильно: 3y + y²).
Неправильное умножение степеней. При умножении одночленов складываются показатели степеней у одинаковых букв. Пример ошибки: a ⋅ a² = a³ (это верно), но часто пишут a². Или: 3x ⋅ 4x = 12x (правильно: 12x²).

Заключение

Освоение умножения одночлена на многочлен — это выработка важного автоматизма для всей последующей алгебры. Это основа для раскрытия скобок, решения уравнений и упрощения сложных выражений. Главное — не спешить, чётко следовать алгоритму и всегда помнить о знаках. Регулярная практика на разных примерах быстро превратит это правило в простой и понятный инструмент.