Умножение двух выражений в скобках: (x+1)(x+2)

Эта тема — ключ к пониманию алгебры. Она называется «умножение многочленов» или «раскрытие скобок». Сегодня мы разберем самый частый и важный случай: как умножить две скобки, в каждой из которых есть переменная x и числа. Освоив этот алгоритм, вы сможете решать более сложные уравнения и задачи.

Простыми словами

Представь, что ты устраиваешь праздник и составляешь подарки для друзей. У тебя есть две коробки: в первой лежит одна конфета (x) и один апельсин (1), во второй — одна конфета (x) и два мандарина (2). Тебе нужно сделать комбинированные подарки, взяв по одному предмету из каждой коробки.

• Берешь конфету из первой коробки и конфету из второй: получается x
• x = x² (две конфеты — это конфеты в квадрате!).
• Берешь конфету из первой и мандарины из второй: x
• 2 = 2x.
• Берешь апельсин из первой и конфету из второй: 1
• x = x.
• Берешь апельсин из первой и мандарины из второй: 1
• 2 = 2.

Теперь собери все подарки вместе: x² + 2x + x + 2. Сложи похожие (2x и x) и получишь x² + 3x + 2. Вот и весь секрет: нужно перемножить КАЖДЫЙ предмет из первой скобки с КАЖДЫМ предметом из второй!

Алгоритм действий

1. Запиши выражение: (x + a)(x + b).
2. Умножь первый член первой скобки (x) на каждый член второй скобки: xx + xb.
3. Умножь второй член первой скобки (a) на каждый член второй скобки: ax + ab.
4. Запиши все полученные произведения: x² + bx + ax + ab.
5. Приведи подобные слагаемые (сложи члены с x): x² + (a+b)x + ab.
6. Запиши окончательный ответ.

Шпаргалка

Формула (Правило)	Результат	Как запомнить
(x + a)(x + b) =	x² + (a+b)x + ab	Квадрат первого, сумма чисел на x, произведение чисел
(x + 1)(x + 2) =	x² + 3x + 2	1+2=3, 1*2=2
(x − a)(x + b) =	x² + (b−a)x − ab	Внимание на знаки!

Примеры с решением

Пример 1 (Простой)

Задача: Выполните умножение (x + 3)(x + 4).

Решение:

• Умножаем x на оба члена второй скобки: x·x + x·4 = x² + 4x.
• Умножаем 3 на оба члена второй скобки: 3·x + 3·4 = 3x + 12.
• Складываем все: x² + 4x + 3x + 12.
• Приводим подобные (4x + 3x = 7x): x² + 7x + 12.

Ответ: x² + 7x + 12.

Пример 2 (Средний, с отрицательным числом)

Задача: Выполните умножение (x − 5)(x + 2).

Решение:

• Умножаем x на оба члена: x·x + x·2 = x² + 2x.
• Умножаем (-5) на оба члена: (-5)·x + (-5)·2 = -5x − 10.
• Складываем: x² + 2x − 5x − 10.
• Приводим подобные (2x − 5x = -3x): x² − 3x − 10.

Ответ: x² − 3x − 10.

Пример 3 (Со звездочкой, два отрицательных числа)

Задача: Выполните умножение (x − 4)(x − 1).

Решение:

• Умножаем x на оба члена: x·x + x·(-1) = x² − 1x.
• Умножаем (-4) на оба члена: (-4)·x + (-4)·(-1) = -4x + 4. (Важно! Минус на минус дает плюс).
• Складываем: x² − 1x − 4x + 4.
• Приводим подобные (-1x − 4x = -5x): x² − 5x + 4.

Ответ: x² − 5x + 4.

Родителям

Чтобы за 2 минуты проверить понимание, дайте ребенку задание: (x + 2)(x + 5).

Что смотреть:

• Шаг 1: Правильно ли перемножил все слагаемые? (Должны появиться 4 слагаемых: x², 5x, 2x, 10).
• Шаг 2: Сложил ли подобные (5x и 2x)?
• Итог: Получил ли верный ответ (x² + 7x + 10)?

Если все шаги выполнены верно — тема усвоена. Если ребенок путается, вернитесь к аналогии с подарками из коробок.

Частые ошибки

• Ошибка №1: Сложение вместо умножения. Написать (x+1)(x+2) = x+1*x+2 = 2x+3 — ГРУБЕЙШАЯ ошибка! Нужно именно умножать каждый на каждый.
• Ошибка №2: Потеря знака при работе с отрицательными числами. Часто забывают, что минус на минус дает плюс. Например, в примере (x-4)(x-1) последнее слагаемое будет +4, а не -4.
• Ошибка №3: Неприведение подобных слагаемых. Оставить ответ в виде x² + 4x + 3x + 12, не сложив 4x и 3x. Это не окончательный, не упрощенный ответ.

Заключение

Умножение выражений вида (x+1)(x+2) — это базовый навык, который автоматизируется с практикой. Главное — понять принцип «каждый на каждого» и быть внимательным со знаками. После отработки 5-7 примеров любой школьник начинает делать это быстро и без ошибок. Этот навык станет надежным фундаментом для изучения более сложных тем алгебры.