Умножение двучленов: (2 + 3x)(2 + 3x)

Эта страница справочника посвящена важной алгебраической операции — умножению двух одинаковых двучленов, или возведению двучлена в квадрат. Мы разберем конкретный пример (2 + 3x)(2 + 3x), который является фундаментом для понимания формул сокращенного умножения.

Простыми словами

Представь, что ты собираешься в поход и упаковываешь рюкзак. У тебя есть набор вещей: 2 банки тушенки и 3 упаковки сухарей (x). Теперь ты берешь не один, а сразу два таких одинаковых набора, чтобы упаковать их в два рюкзака. Что в итоге окажется в двух рюкзаках?

• Сначала перемножь банки тушенки из первого набора с содержимым второго: 2 банки
• 2 банки = 4 банки.
• Потом банки из первого набора на сухари из второго: 2 банки
• 3 упаковки сухарей = 6 упаковок сухарей.
• Теперь сухари из первого набора на банки из второго: 3 упаковки сухарей
• 2 банки = еще 6 упаковок сухарей.
• И наконец, сухари из первого набора на сухари из второго: 3 упаковки
• 3 упаковки = 9 упаковок сухарей в квадрате (x²).

Складываем всё: 4 банки + 6 упаковок + 6 упаковок + 9 x² = 4 + 12x + 9x². Каждый элемент из первой скобки «поздоровался» и перемножился с каждым элементом из второй. Это и есть правило умножения скобок.

Алгоритм действий

Чтобы умножить двучлен на двучлен (в нашем случае — возвести его в квадрат), следуй шагам:

1. Запиши произведение: (a + b)(a + b) или (a + b)².
2. Умножь каждый член первой скобки на каждый член второй скобки (правило «каждый на каждый»).
3. Запиши результаты четырёх умножений: aa, ab, ba, bb.
4. Приведи подобные слагаемые (сложи члены с одинаковой буквенной частью).
5. Запиши окончательный ответ в стандартном виде (от большей степени к меньшей).

Шпаргалка

<tr style="background-color:

f2f2f2;»>

Формула	Результат	Правило в словах
(a + b)²	a² + 2ab + b²	Квадрат первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.
(a − b)²	a² − 2ab + b²	Квадрат первого, минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.
(2 + 3x)²	4 + 12x + 9x²	2² + 2(23x) + (3x)² = 4 + 12x + 9x²

Примеры с решением

Пример 1 (Простой)

Задача: Выполните умножение (x + 5)².

Решение:

• Квадрат первого: x²
• Удвоенное произведение: 2 x 5 = 10x
• Квадрат второго: 5² = 25
• Ответ: x² + 10x + 25

Пример 2 (Средний)

Задача: Выполните умножение (4 − 3y)².

Решение:

• Квадрат первого: 4² = 16
• Удвоенное произведение: 2 4 (−3y) = −24y
• Квадрат второго: (−3y)² = 9y²
• Ответ: 16 − 24y + 9y²

Пример 3 (Со звездочкой)

Задача: Упростите выражение (2m + 3n)² − 12mn.

Решение:

• Возведем в квадрат по формуле: (2m)² + 2(2m3n) + (3n)² = 4m² + 12mn + 9n²
• Теперь из результата вычтем 12mn: 4m² + 12mn + 9n² − 12mn
• Приводим подобные (12mn и −12mn взаимно уничтожаются): 4m² + 9n²
• Ответ: 4m² + 9n²

Родителям

Чтобы за 2 минуты проверить понимание темы, задайте ребенку два вопроса и одно практическое задание:

1. Вопрос 1: «Как звучит правило умножения двух одинаковых скобок со знаком ‘+’?» (Ждем: «Квадрат первого, плюс удвоенное произведение, плюс квадрат второго»).
2. Вопрос 2: «Что будет с удвоенным произведением, если в скобках стоит минус?» (Ждем: «Оно тоже будет со знаком минус»).
3. Задание: «Быстро реши в уме или на бумажке: (x + 1)².» (Правильный ответ: x² + 2x + 1). Если справился — тема усвоена.

Частые ошибки

• Квадрат одночлена: Самая распространенная ошибка — неправильное возведение в квадрат. Дети часто пишут (3x)² = 3x², забывая возвести в квадрат числовой коэффициент. Правильно: (3x)² = 9x².
• Знак удвоенного произведения: В формуле (a − b)² = a² − 2ab + b² часто теряют минус перед удвоенным произведением, записывая +2ab. Нужно помнить, что знак берется из исходной скобки.
• «Волшебное» появление тройки: Путают формулу квадрата суммы с формулой квадрата разности или вообще изобретают свою: (a + b)² = a² + b². Это грубейшая ошибка! Пропадает удвоенное произведение 2ab. Важно подчеркнуть, что (a + b)² — это НЕ просто сумма квадратов.

Заключение

Умение уверенно умножать двучлены, особенно применять формулы квадрата суммы и разности, — это краеугольный камень алгебры. Этот навык будет постоянно использоваться в решении уравнений, разложении на множители, работе с дробями и в старших классах. Понимание алгоритма «каждый на каждый» и запоминание ключевых формул-шпаргалок из таблицы надежно защитят от ошибок и помогут двигаться дальше. Практикуйтесь на примерах разного уровня сложности!