Умножение в двоичной системе счисления — Школьный справочник

Умножение в двоичной системе

Двоичная система счисления — фундамент всего цифрового мира. Умножение в ней — это базовый навык, который лежит в основе работы процессоров. На этой странице вы научитесь умножать двоичные числа так же легко, как и десятичные.

Простыми словами

Представь, что у тебя есть выключатели, которые могут быть только в двух положениях: ВКЛ (1) и ВЫКЛ (0). Умножение двоичных чисел — это набор инструкций для таких выключателей.

Правило очень простое: умножение на 0 всегда дает 0 (как если бы выключатель был выключен и ток не идет), а умножение на 1 оставляет второе число неизменным (ток проходит через включенный выключатель). Всё умножение сводится к сложению сдвинутых копий первого числа, но только тех его частей, где во втором числе стоят единицы.

Алгоритм действий

Запиши два двоичных числа друг под другом, как при обычном умножении в столбик.
Умножь верхнее число на каждую цифру (разряд) нижнего числа, начиная с младшего (самого правого).
Помни: 0 × (любая цифра) = 0; 1 × (любая цифра) = эта же цифра.
Каждое промежуточное произведение записывай, начиная со сдвига на одну позицию влево для каждого следующего разряда нижнего числа.
Сложи все полученные промежуточные произведения по правилам сложения двоичных чисел (1+1 = 10, то есть 0 пишем, 1 в уме).

Шпаргалка

Действие	Правило	Результат
Умножение на 0	0 × 0 = 0 0 × 1 = 0	Всегда 0
Умножение на 1	1 × 0 = 0 1 × 1 = 1	Копия числа
Сложение разрядов	0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 (0 пишем, 1 переносим)	Основа для итога

Примеры с решением

Пример 1 (простой): 101₂ × 10₂

Решение:

    101   (это 5 в десятичной)
  ×  10   (это 2 в десятичной)
  
    000   ← 101 × 0 (младший разряд второго числа)
  +101    ← 101 × 1 (старший разряд), сдвинуто влево
  
   1010   (это 10 в десятичной: 5×2=10)

Пример 2 (средний): 1101₂ × 101₂

Решение:

     1101   (это 13)
   ×  101   (это 5)
   
     1101   ← 1101 × 1 (первое частное произведение)
    0000    ← 1101 × 0, сдвинуто на один разряд
 + 1101     ← 1101 × 1, сдвинуто на два разряда
   
   1000001  (это 65 в десятичной: 13×5=65)

   Проверка сложения: 1101 + 00000 (или просто 0) + 110100 = 1000001.

Пример 3 (со звездочкой *): 1111₂ × 1111₂

Решение: Умножение числа на само себя (квадрат).

      1111   (это 15)
    × 1111   (это 15)
    
      1111   ← 1111 × 1
     1111    ← 1111 × 1, сдвиг
    1111     ← 1111 × 1, сдвиг
 + 1111      ← 1111 × 1, сдвиг
   
  11100001   (это 225 в десятичной: 15×15=225)

  Сложение требует аккуратности с переносами:
  1) Складываем первый столбец справа: 1 = 1.
  2) Второй: 1+1=10, пишем 0, перенос 1.
  3) Третий: 1+1+1+1(перенос)=100, пишем 0, перенос 10 (то есть 2 в десятичной) и т.д.

Родителям

Чтобы за 2 минуты проверить понимание, задайте ребенку два вопроса и одно практическое задание:

Вопрос 1: «Сколько будет 0 × 1 в двоичной системе?» (Правильно: 0).
Вопрос 2: «Почему при умножении на 10₂ результат просто сдвигается влево на один разряд?» (Потому что это умножение на 2, как в десятичной системе умножение на 10).
Задание: «Умножь 11₂ на 11₂ (три на три)». Дайте листок. Правильный ответ: 1001₂ (девять). Если справился за минуту — тема усвоена!

Частые ошибки

Забывают сдвигать промежуточные произведения. Каждая следующая строка должна начинаться на одну цифру левее. Это ключевое правило умножения в столбик в любой системе.
Путаются в сложении промежуточных результатов. Сложение двоичных чисел — отдельный навык. Нужно помнить, что 1+1=10, и аккуратно переносить единицу в следующий разряд.
Пытаются использовать таблицу умножения десятичной системы. Самая грубая ошибка — умножить 1×1 и получить 1, но при этом ошибочно записать 1+1=2. В двоичной системе 2 не существует, есть только 0 и 1, а двойка — это уже 10₂.

Умножение в двоичной системе счисления