Умножение трёх дробей
Этот раздел справочника поможет вам освоить умножение не только двух, но и трёх обыкновенных дробей. Это важный шаг для решения более сложных задач и примеров с несколькими действиями.
Простыми словами
Представь, что ты делишь пиццу. Сначала ты разрезал её пополам (это дробь 1/2). Потом от одной половинки отломил третью часть (умножаем на 1/3). А затем эту маленькую часть разделил ещё на четыре равных кусочка и взял один (умножаем на 1/4). В итоге у тебя получился крошечный кусочек от целой пиццы. Умножение трёх дробей — это как раз такое последовательное деление целого на части, а потом ещё раз, и ещё раз. Главное правило: последовательно перемножить все числители (верхние числа) и все знаменатели (нижние числа).
Алгоритм действий
Чтобы перемножить три обыкновенные дроби, выполни следующие шаги:
- Убедись, что перед тобой обыкновенные дроби (вида a/b).
- Перемножь числители всех трёх дробей. Результат запиши в числитель ответа.
- Перемножь знаменатели всех трёх дробей. Результат запиши в знаменатель ответа.
- Сократи полученную дробь, если это возможно. Сокращать можно на любом этапе: до умножения (крест-накрест между любой парой числителя и знаменателя) или после.
- Если в ответе получилась неправильная дробь, выдели целую часть.
Шпаргалка
| Правило | Формула (на примере трёх дробей) | Ключевой принцип |
|---|---|---|
| Основное правило умножения | a/b × c/d × e/f = (a × c × e) / (b × d × f) |
Числители с числителями, знаменатели со знаменателями. |
| Сокращение дробей | Можно до умножения: a/✗ × ✗/d × e/f |
Сокращать можно любую пару: числитель одной дроби и знаменатель другой (далеко стоящие тоже). |
| С целым числом | n × a/b × c/d = n/1 × a/b × c/d |
Целое число — это дробь со знаменателем 1. |
Примеры с решением
Пример 1 (простой)
Найти произведение: ½ × ⅓ × ¼
Решение:
- Перемножаем числители:
1 × 1 × 1 = 1 - Перемножаем знаменатели:
2 × 3 × 4 = 24 - Получаем:
½ × ⅓ × ¼ = 1/24 - Дробь 1/24 не сокращается. Ответ: 1/24.
Пример 2 (средней сложности, со сокращением)
Найти произведение: ⁸⁄₉ × ³⁄₄ × ³⁄₁₀
Решение (с сокращением до умножения):
- Сокращаем 8 (из первой дроби) и 4 (из второй) на 4: 8→2, 4→1.
- Сокращаем 3 (из второй дроби) и 9 (из первой) на 3: 3→1, 9→3.
- Сокращаем 3 (из первой дроби, получившийся) и 3 (из третьей дроби) на 3: 3→1, 3→1.
- Теперь дроби выглядят так:
²⁄₁ × ¹⁄₁ × ¹⁄₁₀(записываем как 2/1 для наглядности). - Умножаем:
(2 × 1 × 1) / (1 × 1 × 10) = ²⁄₁₀. - Сокращаем ответ на 2:
²⁄₁₀ = ⅕. - Ответ: ⅕.
Пример 3 (со звёздочкой, с целым числом и смешанной дробью)
Вычислить: 2 × 1⅓ × ⁵⁄₁₄
Решение:
- Приводим всё к обыкновенным дробям:
2 = ²⁄₁1⅓ = ⁴⁄₃
- Пример теперь выглядит так:
²⁄₁ × ⁴⁄₃ × ⁵⁄₁₄. - Сокращаем до умножения:
- 2 (из первой дроби) и 14 (из третьей) на 2: 2→1, 14→7.
- 4 (из второй дроби) и 4 (ни с чем не сократили, оставляем). Можно сократить 4 и 2 (которая уже стала 1), но мы это уже сделали.
- После сокращения имеем:
¹⁄₁ × ⁴⁄₃ × ⁵⁄₇. - Умножаем:
(1 × 4 × 5) / (1 × 3 × 7) = ²⁰⁄₂₁. - Дробь ²⁰⁄₂₁ правильная и не сокращается. Ответ: ²⁰⁄₂₁.
Родителям
Чтобы быстро проверить понимание темы, дайте ребёнку один пример: ½ × ⅖ × ¹⁰⁄₇.
Что смотреть за 2 минуты:
- Шаг 1: Пытается ли он сразу умножить 1×2×10 и 2×5×7, получая 20/70? Если да, спросите: «Можно ли было решить проще?»
- Шаг 2: Понимает ли он возможность сокращения? Правильный ход — сразу сократить 10 и 5 (знаменатель второй дроби) на 5, получив
½ × ⅖ × ²⁄₇, а затем 2 (числитель второй дроби) и 2 (знаменатель первой) на 2, получив¹⁄₁ × ¹⁄₁ × ²⁄₇ = ²⁄₇. - Критерий усвоения: Ребёнок не просто механически перемножает все числа, а ищет возможность сократить дроби до умножения. Это главный навык, который экономит время и упрощает вычисления.
Частые ошибки
- Сложение вместо умножения знаменателей. Ребёнок может по аналогии со сложением дробей попытаться найти общий знаменатель:
½ × ⅓ × ¼ошибочно превращается в что-то вроде (1+1+1)/24. Лекарство: Чётко проговаривать: «При сложении — общий знаменатель, при умножении — знаменатели перемножаются». - Сокращение только соседних чисел. Ученик сокращает числитель и знаменатель только в пределах одной дроби или двух соседних, упуская возможность сократить числитель первой дроби со знаменателем третьей. Лекарство: Тренировать «перекрёстное» сокращение по диагонали между любой парой.
- Забывают про целое число. Столкнувшись с примером типа
3 × ²⁄₅, умножают только числитель (3×2=6), забывая, что 3 — это ³⁄₁, и знаменатель тоже надо умножить на 1 (получая ⁶⁄₅). Лекарство: Приучать записывать целое число как дробь со знаменателем 1.
