Как умножить три скобки друг на друга
Когда мы уверенно умножаем две скобки, например, (a + b)(c + d), следующая ступень — работа с тремя. Это не так страшно, как кажется! Этот навык пригодится для решения сложных уравнений, упрощения выражений и подготовки к экзаменам. Давайте разберем все по шагам.
Простыми словами
Представь, что ты собираешь подарок для друга. У тебя есть три коробки (это наши скобки). В каждой коробке лежит по два предмета: например, в первой — яблоко (a) и банан (b), во второй — конфета (c) и печенье (d), в третьей — наклейка (e) и шарик (f).
Твоя задача — сделать один большой набор, перемножив все предметы из всех коробок. Ты берешь по одному предмету из каждой коробки и кладешь в общий пакет. Сколько вариантов наборов получится? Яблоко + конфета + наклейка, яблоко + конфета + шарик, яблоко + печенье + наклейка и так далее. Умножение скобок — это тот же процесс: нужно учесть все возможные комбинации слагаемых из каждой скобки.
Алгоритм действий
Чтобы не запутаться, действуй строго по плану:
- Шаг 1: Умножь первые две скобки. Раскрой их как обычно, используя правило умножения скобки на скобку. У тебя получится новое выражение (обычно из 4 слагаемых).
- Шаг 2: Упрости результат. Приведи подобные слагаемые, если они есть.
- Шаг 3: Умножь результат на третью скобку. Теперь умножь каждое слагаемое из упрощенного выражения на каждое слагаемое в третьей скобке.
- Шаг 4: Финальное упрощение. Еще раз приведи все подобные слагаемые в полученном большом выражении.
Шпаргалка
| Формула (общий вид) | Порядок действий | Количество слагаемых в ответе |
|---|---|---|
| (a + b)(c + d)(e + f) | 1. (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd 2. (ac+ad+bc+bd)(e+f) = … |
2 × 2 × 2 = 8 |
| (x + p)³ = (x+p)(x+p)(x+p) | 1. (x+p)(x+p) = x² + 2xp + p² 2. (x²+2xp+p²)(x+p) |
3 × 2 = 6 (после упрощения — 4) |
| (m − n)(m + n)(k) | 1. (m−n)(m+n) = m² − n² (формула!) 2. (m² − n²) ⋅ k |
1 × 2 = 2 |
Примеры с решением
Пример 1 (Простой)
Упростить: (x + 1)(x + 2)(x + 3)
Решение:
- Шаг 1: Умножим первые две скобки: (x+1)(x+2) = x⋅x + x⋅2 + 1⋅x + 1⋅2 = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2.
- Шаг 2: Умножим результат на третью скобку: (x² + 3x + 2)(x + 3).
- x² ⋅ x = x³
- x² ⋅ 3 = 3x²
- 3x ⋅ x = 3x²
- 3x ⋅ 3 = 9x
- 2 ⋅ x = 2x
- 2 ⋅ 3 = 6
- Шаг 3: Запишем и упростим: x³ + 3x² + 3x² + 9x + 2x + 6 = x³ + 6x² + 11x + 6.
Ответ: x³ + 6x² + 11x + 6
Пример 2 (Средний)
Упростить: (2a − b)(a + 3b)(b − a)
Решение:
- Шаг 1: (2a − b)(a + 3b) = 2a⋅a + 2a⋅3b + (−b)⋅a + (−b)⋅3b = 2a² + 6ab − ab − 3b² = 2a² + 5ab − 3b².
- Шаг 2: Умножим на (b − a). Будьте внимательны со знаками!
- 2a² ⋅ b = 2a²b
- 2a² ⋅ (−a) = −2a³
- 5ab ⋅ b = 5ab²
- 5ab ⋅ (−a) = −5a²b
- (−3b²) ⋅ b = −3b³
- (−3b²) ⋅ (−a) = 3ab²
- Шаг 3: Запишем: 2a²b − 2a³ + 5ab² − 5a²b − 3b³ + 3ab². Приведем подобные:
- С a³: −2a³
- С a²b: 2a²b − 5a²b = −3a²b
- С ab²: 5ab² + 3ab² = 8ab²
- С b³: −3b³
Ответ: −2a³ − 3a²b + 8ab² − 3b³
Пример 3 (Со звездочкой)
Упростить: (x + y)(x − y)(x² + y²)
Решение (хитрый способ):
- Шаг 1: Заметим, что первые две скобки — это формула разности квадратов: (x+y)(x−y) = x² − y².
- Шаг 2: Теперь умножаем на третью скобку: (x² − y²)(x² + y²). Это снова формула разности квадратов, но для x² и y².
- Шаг 3: Применяем формулу: (x²)² − (y²)² = x⁴ − y⁴.
Ответ: x⁴ − y⁴. Видишь, как знание формул упрощает жизнь?
Родителям: быстрая проверка за 2 минуты
Попросите ребенка объяснить вам решение вот этого примера: (x + 1)(x + 1)(x + 1).
Не нужно требовать идеального оформления. Слушайте логику:
- Правильно ли он перемножил первые две скобки? (Должно получиться x² + 2x + 1).
- Понимает ли он, что теперь каждое из этих трех слагаемых надо умножить на x и на 1 из третьей скобки?
- Сводит ли он в конце подобные слагаемые? (Правильный ответ: x³ + 3x² + 3x + 1).
Если ребенок может проговорить эти шаги — тема усвоена. Если путается — вернитесь к алгоритму и простым примерам.
Частые ошибки
- Потеря знаков при умножении. Особенно когда в скобках есть минусы. Ребенок умножает числа, но забывает перемножить знаки. Спасение: всегда писать знак «+» перед произведением и аккуратно определять знак каждого монома: (−a) ⋅ (−b) = +ab.
- Путаница в подобных слагаемых на финальном этапе. В длинном выражении можно не заметить, что 3x²y и −5x²y — подобные. Спасение: подчеркивать или выделять цветом одинаковые группы переменных (все x²y, все xy² и т.д.) перед сложением.
- Попытка умножить все три скобки «одним махом». Это почти гарантированно приводит к хаосу и пропуску слагаемых. Спасение: строго следовать алгоритму: сначала две, упростить, потом третью.
Заключение
Умножение трех скобок — это не новая сверхсложная тема, а всего лишь последовательное применение знакомого правила два раза. Ключ к успеху — аккуратность, внимательность к знакам и терпеливое приведение подобных слагаемых. Потренируйтесь на нескольких примерах, и этот навык станет автоматическим.
