Формулы сокращённого умножения: контрольная работа для 7 класса

Эта страница поможет тебе уверенно подготовиться к контрольной работе по алгебре. Мы разберем самые важные формулы, без которых не обойтись в 7 классе и дальше. Поймем их суть, научимся применять и избегать ловушек.

Простыми словами

Представь, что тебе нужно быстро перемножить два одинаковых набора продуктов в магазине. Например, (пачка чая + плитка шоколада)

• (пачка чая + плитка шоколада). Можно умножать долго: чай на чай, чай на шоколад, шоколад на чай, шоколад на шоколад. А можно знать короткий способ: сразу записать «чай в квадрате + два чай-шоколад + шоколад в квадрате». Формулы сокращённого умножения — это такие же «короткие рецепты» для умножения скобок. Они экономят время и уменьшают количество ошибок.

Алгоритм действий

Чтобы успешно применять формулы, следуй этим шагам:

1. Определи формулу. Посмотри на выражение: это квадрат суммы (a+b)², квадрат разности (a-b)² или разность квадратов a²-b²?
2. Найди a и b. Выдели в выражении первый и второй члены. Это могут быть числа, переменные, степени или даже целые выражения в скобках.
3. Примени формулу. Подставь свои a и b в выбранную формулу, строго соблюдая все знаки и операции.
4. Упрости результат. Выполни возведение в степень и умножение, приведи подобные слагаемые, если они есть.

Шпаргалка: 3 главные формулы

<tr style="background-color:

f2f2f2;»>

Название формулы	Формула	Как читать
Квадрат суммы	(a + b)² = a² + 2ab + b²	Квадрат первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.
Квадрат разности	(a − b)² = a² − 2ab + b²	Квадрат первого, минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.
Разность квадратов	a² − b² = (a − b)(a + b)	Разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Примеры с решением

Пример 1 (Простой)

Задача: Раскрыть скобки: (x + 5)²

Решение:

• Это квадрат суммы. a = x, b = 5.
• Применяем формулу: (a + b)² = a² + 2ab + b².
• Подставляем: x² + 2 x 5 + 5².
• Упрощаем: x² + 10x + 25.

Пример 2 (Средний)

Задача: Упростить выражение: (3m − 4n)²

Решение:

• Это квадрат разности. a = 3m, b = 4n.
• Формула: (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Подставляем: (3m)² − 2 (3m) (4n) + (4n)².
• Возводим в степень: 9m² − 2
• 12mn + 16n².
• Умножаем: 9m² − 24mn + 16n².

Пример 3 (Со звёздочкой)

Задача: Разложить на множители: 49y⁴ − 0.25x⁶

Решение:

• Это разность квадратов. Нужно представить каждое слагаемое как квадрат.
• 49y⁴ = (7y²)², а 0.25x⁶ = (0.5x³)².
• Значит, a = 7y², b = 0.5x³.
• Применяем формулу: a² − b² = (a − b)(a + b).
• Подставляем: (7y² − 0.5x³)(7y² + 0.5x³).
• Ответ: (7y² − 0.5x³)(7y² + 0.5x³).

Родителям: быстрая проверка за 2 минуты

Попросите ребёнка объяснить вам, как перемножить (ЧИСЛО + БУКВА)², например, (x + 7)². Не нужно слушать заученное правило. Обратите внимание на три ключевых момента в его объяснении:

• Говорит ли он про «квадрат первого» (x²)?
• Упоминает ли «удвоенное произведение» (2 x 7 = 14x)?
• Говорит ли «квадрат второго» (49)?

Если все три компонента названы и в правильном порядке — ребёнок понял суть. Если путается — вернитесь к блоку «Простыми словами» и алгоритму.

Топ-3 частые ошибки

• Потеря удвоенного произведения. Самая распространённая! Пишут (a + b)² = a² + b². Запомните: 2ab — это «сердце» формулы, его нельзя терять.
• Ошибка в знаке для квадрата разности. В формуле (a − b)² = a² − 2ab + b². Часто ставят минус перед b², но это неверно. Квадрат второго всегда положительный.
• Неправильное возведение в квадрат коэффициента и переменной. Например, в (3x)² нужно возвести в квадрат и 3, и x: получится 9x². Многие пишут 3x², что является ошибкой.

Заключение

Формулы сокращённого умножения — это мощный инструмент, который будет с вами до конца школы. Понимание их логики и умение видеть в сложном выражении знакомый шаблон — ключ к успеху не только на этой контрольной, но и в дальнейшем изучении алгебры. Тренируйтесь, начинайте с простых примеров и обязательно сверяйтесь с алгоритмом. Удачи!