Как делить три дроби друг на друга

Деление обыкновенных дробей — одна из ключевых тем в школьной математике. Когда действие нужно выполнить не с двумя, а сразу с тремя дробями, у многих учеников возникает путаница. На этой странице мы подробно и просто разберем, как правильно делить три дроби, чтобы вы могли уверенно решать такие примеры.

Простыми словами

Представь, что у тебя есть целая большая пицца (это твоя первая дробь). Сначала ты хочешь разделить её не на всех, а только на несколько частей, как при обычном делении на число. Но тут условие хитрее: делить нужно не на число, а на другую пиццу (вторая дробь), которая уже порезана на куски. А потом результат этого «пиццеделения» нужно разделить ещё и на третью пиццу!

Выход есть! Вместо того чтобы ломать голову, можно поступить так: деление на дробь — это то же самое, что умножение на перевернутую дробь. Поэтому мы можем не делить три пиццы сложным способом, а просто перевернуть вторую и третью пиццу (дроби) «вверх ногами» и заменить все знаки деления на умножение. Тогда задача станет простой и понятной: нужно просто перемножить три дроби, а это мы уже умеем!

Алгоритм действий

• Запиши пример в строчку со всеми знаками деления.
• Все знаки деления (÷ или /) замени на знаки умножения (×).
• У каждой дроби, которая стояла ПОСЛЕ знака деления (то есть второй и третьей), поменяй числитель и знаменатель местами (переверни дробь). Первую дробь не переворачивай.
• Теперь у тебя получилось умножение трех дробей.
• Перемножь числители всех трех дробей — это будет новый числитель.
• Перемножь знаменатели всех трех дробей — это будет новый знаменатель.
• Сократи полученную дробь, если это возможно.

Шпаргалка

Примеры с решением

Пример 1 (простой)

Вычисли: (2/3) ÷ (1/4) ÷ (2/5)

Решение:

• Заменяем деление на умножение на обратные дроби: (2/3) × (4/1) × (5/2)
• Умножаем числители: 2 × 4 × 5 = 40
• Умножаем знаменатели: 3 × 1 × 2 = 6
• Получаем дробь: 40/6 = 20/3 = 6 ²⁄₃

Ответ: 6 ²⁄₃

Пример 2 (средний)

Вычисли: (5/6) ÷ (10/12) ÷ (1/2)

Решение:

• Заменяем деление на умножение: (5/6) × (12/10) × (2/1)
• Попробуем сократить дроби до умножения, чтобы упростить расчеты:
  • 5 и 10 сокращаем на 5.
  • 6 и 12 сокращаем на 6.
  • 12 (после первого сокращения стало 2) и 2 сокращаем на 2.
• После сокращений получаем: (1/1) × (2/2) × (2/1) = 1 × 1 × 2 = 2

Ответ: 2

Пример 3 (со звездочкой)

Вычисли: (1 ¹⁄₃) ÷ (0.4) ÷ (5/9). Смешанное число и десятичная дробь.

Решение:

• Приведем все к обыкновенным дробям:
  • 1 ¹⁄₃ = 4/3
  • 0.4 = ⁴⁄₁₀ = ²⁄₅
  • 5/9 — уже обыкновенная дробь.
• Записываем пример: (4/3) ÷ (2/5) ÷ (5/9)
• Заменяем деление: (4/3) × (5/2) × (9/5)
• Сокращаем: 4 и 2 — на 2; 5 и 5 — на 5.
• После сокращений: (2/3) × (1/1) × (9/1) = (2 × 9) / 3 = 18/3 = 6

Ответ: 6

Родителям

Чтобы за 2 минуты проверить понимание темы, задайте ребенку всего один вопрос и одно практическое действие:

• Вопрос: «Что нужно сделать со второй и третьей дробью в примере (½) ÷ (⅓) ÷ (¼), чтобы заменить деление на умножение?» (Правильный ответ: перевернуть их, поменять числитель и знаменатель местами).
• Действие: Дайте листок с примером: (6/7) ÷ (3/14) ÷ (2/5). Попросите не решать до конца, а только правильно записать первый шаг — заменить деление на умножение с правильными обратными дробями. Если ребенок записал (6/7) × (14/3) × (5/2) — тема усвоена.

Частые ошибки

• Переворачивание первой дроби. Самая распространенная ошибка — ученик переворачивает все дроби подряд, включая первую. Нужно запомнить: переворачиваются только те дроби, на которые мы ДЕЛИМ (стоящие после знака ÷).
• Путаница в порядке действий. Иногда дети пытаются делить дроби последовательно, находя сначала результат от деления первых двух, а потом деля на третью. Хотя это верный способ, он часто приводит к ошибкам в вычислениях с большими числами. Предложенный алгоритм с одним действием надежнее.
• Отсутствие сокращения до умножения. Ребенок перемножает все числа «в лоб», получает огромные числитель и знаменатель, а затем с трудом их сокращает. Важно приучить его смотреть на все числители и знаменатели сразу и сокращать их крест-накрест до выполнения умножения.

Заключение

Деление трех дробей — не более сложная операция, чем деление двух. Весь секрет в одном магическом правиле: «Чтобы разделить на дробь, умножь на обратную». Превратив все деления в умножения на обратные дроби, вы сводите сложный пример к простому умножению, которое легко решить, особенно если не забывать о сокращении. Регулярная практика с разными примерами поможет довести этот навык до автоматизма.