Математика 6 класс номер 1

Математика 6 класс. Урок 1: Делимость чисел. Повторение и углубление.

Добро пожаловать на первый урок математики для 6 класса! Этот учебный год мы начнем с фундаментальной и увлекательной темы — делимости чисел. Знания, которые вы здесь получите, станут прочным основанием для изучения обыкновенных дробей, сокращений, нахождения наименьшего общего знаменателя и даже основ алгебры. Мы не просто повторим пройденное в 5 классе, но и значительно расширим наш математический кругозор.

Что такое делимость?

Говорят, что одно число делится на другое, если результат деления является целым числом, а остаток равен нулю. Например, 15 делится на 3, потому что 15 : 3 = 5 (целое число). А вот 17 не делится нацело на 3, так как 17 : 3 = 5 (остаток 2).

Основные понятия и определения

Давайте четко определимся с терминами, которые будем использовать постоянно:

• Делитель натурального числа a — это натуральное число, на которое a делится без остатка. Например, делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Кратное натурального числа b — это натуральное число, которое делится на b без остатка. Например, кратные числа 5: 5, 10, 15, 20, 25 и так далее (их бесконечно много).
• Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя. Примеры: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Число 1 не является простым (у него только один делитель).
• Составное число — это натуральное число, которое имеет более двух делителей. Примеры: 4 (делители: 1,2,4), 6 (1,2,3,6), 9 (1,3,9).

Признаки делимости

Чтобы быстро определять, делится ли число на другое, не выполняя деление «столбиком», существуют удобные признаки делимости. Вот основные из них:

• На 2: число оканчивается четной цифрой (0, 2, 4, 6, 8). Пример: 256, 1034.
• На 5: число оканчивается цифрой 0 или 5. Пример: 120, 435.
• На 10: число оканчивается цифрой 0. Пример: 700, 1230.
• На 3: сумма цифр числа делится на 3. Пример: 417 (4+1+7=12, 12 делится на 3).
• На 9: сумма цифр числа делится на 9. Пример: 882 (8+8+2=18, 18 делится на 9).
• На 4: число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4. Пример: 2316 (16 делится на 4).

Разложение на простые множители

Это ключевой навык! Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это называется разложением на простые множители. Делается это с помощью деления в столбик на простые числа, начиная с самого маленького.

Пример: Разложим число 72.

• 72 делим на 2 → 36
• 36 делим на 2 → 18
• 18 делим на 2 → 9
• 9 делим на 3 → 3
• 3 делим на 3 → 1

Получаем: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3². Такая запись называется каноническим разложением.

Наибольший общий делитель (НОД)

НОД двух или более натуральных чисел — это наибольшее натуральное число, на которое делятся все данные числа без остатка.

Как найти НОД:

• Способ 1: Выписать все делители чисел и выбрать общий наибольший. Подходит для небольших чисел.
• Способ 2 (основной): Разложить числа на простые множители и перемножить общие множители в наименьших степенях.

Пример: Найти НОД(24, 36).
24 = 2³ · 3
36 = 2² · 3²
Общие множители: 2 и 3. Берем в наименьшей степени: 2² и 3¹.
НОД(24, 36) = 2² · 3 = 4 · 3 = 12.

Наименьшее общее кратное (НОК)

НОК двух или более натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

Как найти НОК:

• Способ 1: Выписать кратные чисел (до первого общего).
• Способ 2 (основной): Разложить числа на простые множители. Взять все множители из разложений в наибольших степенях и перемножить их.

Пример: Найти НОК(24, 36).
24 = 2³ · 3
36 = 2² · 3²
Берем все множители в наибольших степенях: 2³ и 3².
НОК(24, 36) = 2³ · 3² = 8 · 9 = 72.

Важная связь: Для любых двух чисел a и b верно: НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b.

Заключение и практический совет

Первый урок заложил основы работы с целыми числами. Умение находить НОД и НОК — не просто абстрактное упражнение. Оно напрямую пригодится вам уже в следующей теме при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями (для приведения к общему знаменателю нужно найти НОК), а также для сокращения дробей (здесь нужен НОД).

Рекомендация: Чтобы уверенно чувствовать себя в этой теме, обязательно потренируйтесь в разложении чисел на простые множители. Начните с небольших чисел (например, 30, 48, 100), а затем переходите к более крупным. Этот навык автоматизируется очень быстро и станет вашим надежным инструментом на весь курс математики.

Удачи в освоении царицы наук! На следующем уроке мы применим эти знания к изучению обыкновенных дробей.