Простыми словами

Представь, что ты строишь настоящий кубик из детского конструктора. У нашего кубика есть длина, ширина и высота. Если каждая сторона равна сумме двух чисел (a + b), то чтобы узнать, сколько всего маленьких кубиков внутри этого большого, нужно выполнить умножение (a + b) (a + b) (a + b). Это и есть (a + b) в кубе.

Формула — это просто инструкция по сборке такого куба. Она говорит: чтобы не перемножать всё вручную три раза, сделай так: возведи каждую часть в куб, а потом добавь «ремёшки» — утроенные произведения квадрата одного числа на другое. Для разности (a — b)³ принцип тот же, только «ремёшки» будут с минусом.

Алгоритм действий

Чтобы возвести сумму или разность двух выражений в куб, следуй этим шагам:

• Определи первое (a) и второе (b) слагаемое (или уменьшаемое и вычитаемое).
• Вычисли куб первого выражения (a³). Запиши его.
• Вычисли утроенное произведение квадрата первого выражения на второе (3a²b). Обрати внимание на знак: для куба суммы — плюс, для куба разности — минус. Запиши.
• Вычисли утроенное произведение первого выражения на квадрат второго (3ab²). Знак будет плюс для обеих формул. Запиши.
• Вычисли куб второго выражения (b³). Запиши его.
• Запиши все четыре полученных члена в порядке убывания степени «a».

Шпаргалка

Запомни фразу для знаков в кубе разности: «Минус, плюс, плюс, минус».

Примеры с решением

Пример 1 (Простой)

Вычислить (x + 5)³.

Решение:

• a = x, b = 5.
• a³ = x³.
• 3a²b = 3 x² 5 = 15x². Знак +.
• 3ab² = 3 x 5² = 3 x 25 = 75x. Знак +.
• b³ = 5³ = 125.

Ответ: x³ + 15x² + 75x + 125.

Пример 2 (Средний)

Разложить на множители или упростить выражение (2y — 3)³.

Решение:

• a = 2y, b = 3.
• a³ = (2y)³ = 8y³.
• 3a²b = 3 (2y)² 3 = 3 4y² 3 = 36y². Знак — (так как куб разности).
• 3ab² = 3 (2y) 3² = 3 2y 9 = 54y. Знак +.
• b³ = 3³ = 27. Знак -.

Ответ: 8y³ — 36y² + 54y — 27.

Пример 3 (Со звёздочкой)

Упростить выражение (m² + n)³ и найти его значение при m = 1, n = -1.

Решение:

• a = m², b = n.
• a³ = (m²)³ = m⁶.
• 3a²b = 3 (m²)² n = 3 m⁴ n = 3m⁴n. Знак +.
• 3ab² = 3 m² n² = 3m²n². Знак +.
• b³ = n³.

Упрощённый вид: m⁶ + 3m⁴n + 3m²n² + n³.

Подставляем m=1, n=-1: (1)⁶ + 3(1)⁴(-1) + 3(1)²(-1)² + (-1)³ = 1 + (31(-1)) + (311) + (-1) = 1 — 3 + 3 — 1 = 0.

Ответ: m⁶ + 3m⁴n + 3m²n² + n³; значение при m=1, n=-1 равно 0.

Родителям

Чтобы за 2 минуты проверить понимание, дайте ребёнку задание и попросите проговаривать шаги вслух.

Задание: «Возведи в куб (x + 2)». Следите за этапами:

• Определил a и b? (x и 2).
• Назвал первое слагаемое: x³.
• Назвал второе: 3 x² 2 = 6x², со знаком +.
• Назвал третье: 3 x 4 = 12x, со знаком +.
• Назвал четвёртое: 8.
• Записал итог: x³ + 6x² + 12x + 8.

Если ребёнок прошёл все шаги без запинки — тема усвоена. Сбился на знаках или коэффициентах — нужно повторить алгоритм и шпаргалку.

Частые ошибки

• Путаница с знаками в кубе разности. Самая распространённая ошибка — ставить минус перед 3ab². Запомните: знаки идут так: a³ (-) 3a²b (+) 3ab² (-) b³.
• Неправильное возведение в степень и умножение коэффициентов. Часто забывают возвести в квадрат или куб числовой коэффициент или переменную. Пример: (2x)³ = 8x³, а не 2x³. Или 3(2x)² = 34x²=12x², а не 6x².
• Подмена формулы. Ученики путают (a + b)³ с a³ + b³. Важно объяснить, что «куб суммы» НЕ РАВЕН «сумме кубов». Пропустить три средних члена — грубейшая ошибка.