Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей — одна из самых простых операций с ними. В отличие от сложения, здесь не нужно искать общий знаменатель. Если ты усвоишь одно простое правило, то сможете умножать любые обыкновенные дроби. Давайте разберемся, как это делается, на примере умножения 5/9 на 7/8.

Простыми словами

Представь, что у тебя есть прямоугольная пицца, разрезанная на части. Первая дробь (5/9) говорит нам, что мы взяли 5 кусочков из 9 возможных. Теперь эти 5 кусочков нужно умножить на вторую дробь (7/8). Умножение на дробь — это всё равно что взять часть от уже имеющейся части.

Сначала мы взяли 5 кусочков из 9 (5/9 пиццы). Теперь от этих пяти кусочков нам нужно взять только 7/8. Как это понять? Мы мысленно делим каждый из наших 5 кусочков еще на 8 частей (получаются очень маленькие кусочки!), и затем берем по 7 таких маленьких кусочков от каждого. В итоге мы получим общее количество маленьких кусочков (5 7), а знаменатель (9 8) покажет, на сколько всего маленьких кусочков была поделена изначальная целая пицца.

Алгоритм действий

Чтобы умножить дробь на дробь, выполни три шага:

• Умножь числители (верхние числа) первой и второй дроби. Это даст числитель результата.
• Умножь знаменатели (нижние числа) первой и второй дроби. Это даст знаменатель результата.
• Сократи полученную дробь, если это возможно. Раздели числитель и знаменатель на одно и то же число.

Шпаргалка

Примеры с решением

Пример 1 (простой)

Задача: $\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}$

Решение:

• Умножаем числители: 1 × 3 = 3
• Умножаем знаменатели: 2 × 4 = 8
• Получаем дробь: 3/8. Сократить нельзя.

Ответ: $\frac{3}{8}$

Пример 2 (средней сложности, со сокращением)

Задача: $\frac{4}{9}\times \frac{3}{8}$

Решение:

• Умножаем числители: 4 × 3 = 12
• Умножаем знаменатели: 9 × 8 = 72
• Получаем дробь: 12/72. Сокращаем. Наибольший общий делитель (НОД) 12 и 72 — это 12.
• Делим числитель и знаменатель на 12: 12 ÷ 12 = 1, 72 ÷ 12 = 6.

Ответ: $\frac{1}{6}$

Пример 3 (со звездочкой: умножение трех дробей и сокращение «накрест»)

Задача: $\frac{5}{6}\times \frac{9}{10}\times \frac{4}{3}$

Решение: Умножать можно последовательно, но удобнее сократить дроби до умножения. Можно сокращать любые числитель и знаменатель из всех дробей.

• Сокращаем 5 и 10 на 5.
• Сокращаем 9 и 6 на 3 (9:3=3, 6:3=2).
• Сокращаем 4 и 2 (которая получилась из шестерки) на 2.
• Теперь перемножаем оставшиеся числа: в числителе 1 × 3 × 1 = 3. В знаменателе 2 × 2 × 3 = 12.
• Получаем 3/12, сокращаем на 3, получаем 1/4.

Ответ: $\frac{1}{4}$

Родителям: проверка за 2 минуты

Попросите ребенка решить один пример, например: $\frac{2}{3}\times \frac{5}{7}$. Не нужно проверять вычисления калькулятором. Ключевое — проследить за алгоритмом:

1. Умножил ли он верхние числа (2×5=10)?
2. Умножил ли он нижние числа (3×7=21)?
3. Попытался ли он посмотреть, можно ли сократить дробь 10/21 (здесь нельзя)?

Если все три шага выполнены верно, алгоритм усвоен. Ошибки в вычислениях таблицы умножения — отдельная тема для отработки.

Частые ошибки

• Попытка найти общий знаменатель. Самая распространенная ошибка. Ребенок по аналогии со сложением начинает подгонять дроби под общий знаменатель, что усложняет задачу в разы. Важно четко разделять: для сложения/вычитания — общий знаменатель, для умножения/деления — нет.
• Забывают сократить дробь в ответе. Или сокращают только один элемент дроби (например, только числитель), что меняет результат. Сокращать нужно и верх, и низ на одно и то же число.
• Путают правило умножения с правилом сложения. Пишут в ответе: (5+7)/(9+8)=12/17. Это грубая ошибка. Борьба с ней — через многократное проговаривание правила: «Верх умножаем на верх, низ умножаем на низ».

Заключение

Умножение дробей — простое и логичное действие. Его основа — прямое умножение числителей и знаменателей. Главное — не спутать его со сложением и не забывать про сокращение, которое делает вычисления легче, а ответ красивее. Потренируйтесь на нескольких примерах, и это правило запомнится навсегда.

Ответ на задание с сайта: $\frac{5}{9}\times \frac{7}{8}=\frac{5\times 7}{9\times 8}=\frac{35}{72}$. Дробь 35/72 является окончательным ответом, так как не сокращается.