Квадрат разности: (a — b)²
Эта страница справочника посвящена одной из ключевых формул сокращенного умножения — квадрату разности. Её понимание открывает быстрый путь к решению множества алгебраических задач, упрощению выражений и разложению на множители. Давайте разберем её от самых основ.
Простыми словами
Представь, что у тебя есть квадратный коврик со стороной a метров. Ты решил отрезать от него с одной стороны полоску шириной b метров. Теперь у тебя получилась фигура, похожая на уголок. Как найти площадь оставшейся части? Можно пойти долгим путём: вычислить площадь всего коврика (a²), вычесть площадь двух отрезанных прямоугольников и не забыть прибавить маленький квадратик на углу, который вычли дважды. А можно сразу воспользоваться готовым правилом: (a — b)² = a² — 2ab + b². Это правило и есть «a b b a умножения» — своеобразная «песня» или мнемоническое правило для запоминания знаков: плюс, минус, минус, плюс (для квадрата суммы — все плюсы).
Алгоритм действий
Чтобы возвести разность двух выражений в квадрат, следуй шагам:
- Возведи в квадрат первое выражение (a²). Запиши его со знаком +.
- Возьми удвоенное произведение первого и второго выражения (2 a b). Запиши его со знаком —.
- Возведи в квадрат второе выражение (b²). Запиши его со знаком +.
- Запиши всё вместе: a² — 2ab + b².
Шпаргалка
| Формула | Как читать | Результат |
|---|---|---|
| (a − b)² | «Квадрат разности a и b» | a² − 2ab + b² |
| (x − 5)² | «Квадрат разности x и пяти» | x² − 10x + 25 |
| (3m − n)² | «Квадрат разности трёх m и n» | 9m² − 6mn + n² |
Примеры с решением
Пример 1 (Простой)
Задача: Раскрыть скобки: (x − 7)²
Решение:
- Квадрат первого: x²
- Удвоенное произведение: 2 x 7 = 14x (пишем со знаком минус: -14x)
- Квадрат второго: 7² = 49
Ответ: x² − 14x + 49
Пример 2 (Средний)
Задача: Упростить выражение: (5y − 2z)²
Решение:
- Квадрат первого: (5y)² = 25y²
- Удвоенное произведение: 2 (5y) (2z) = 20yz (пишем со знаком минус: -20yz)
- Квадрат второго: (2z)² = 4z²
Ответ: 25y² − 20yz + 4z²
Пример 3 (Со звездочкой *)
Задача: Вычислить, используя формулу квадрата разности: 99²
Решение:
Представим 99 как (100 − 1). Тогда 99² = (100 − 1)².
- Квадрат первого: 100² = 10000
- Удвоенное произведение: 2 100 1 = 200 (со знаком минус: -200)
- Квадрат второго: 1² = 1
Ответ: 10000 − 200 + 1 = 9801. Гораздо быстрее, чем умножение в столбик!
Родителям
Чтобы за 2 минуты проверить понимание, задайте ребенку два вопроса:
- Устный вопрос: «Как будет выглядеть формула (m − 10)²?» Ребенок должен быстро, без запинки, произнести: «m² − 20m + 100».
- Вопрос на понимание: «Почему в середине формулы стоит минус, а не плюс?» Правильный ответ должен отсылать к смыслу: «Потому что мы возводим в квадрат разность, а не сумму».
Если оба ответа даны уверенно — тема усвоена.
Частые ошибки
- Потеря «удвоенного произведения» (2ab). Самая распространенная ошибка — написать просто a² − ab + b². Напоминайте ребенку про цифру 2.
- Ошибка в знаке среднего слагаемого. Дети часто ставят плюс. Нужно твердо запомнить: квадрат разности — значит, в середине всегда «минус».
- Неправильное возведение в квадрат коэффициентов и переменных. Например, в (3x)² нужно возвести в квадрат и 3, и x, получится 9x², а не 3x².
Заключение
Формула квадрата разности (a − b)² = a² − 2ab + b² — это не просто абстрактное правило, а мощный инструмент для эффективной работы в алгебре. Её знание экономит время, снижает количество ошибок в вычислениях и закладывает фундамент для изучения более сложных тем. Регулярная практика на разных примерах — ключ к уверенному применению этой формулы.
